NORMÉES (ALGÈBRES)

NORMÉES (ALGÈBRES)

Au point de rencontre de deux types de structures, structures algébriques et structures topologiques, les algèbres normées jouent un rôle important dans de nombreux domaines de l’analyse mathématique. Développée à partir de 1940 environ, essentiellement par des mathématiciens soviétiques (I. M. Gelfand, M. A. Naimark, D. A. Raikov, G. E. Šylov), la théorie des algèbres normées avait primitivement pour objet de placer dans un cadre abstrait et général l’étude de certaines algèbres normées particulières (en l’occurrence, les algèbres de convolution de fonctions intégrables pour une mesure de Haar d’un groupe localement compact) en isolant leurs propriétés les plus marquantes et les plus caractéristiques.

On reconnaît là le processus d’axiomatisation, qui a été si souvent utilisé en mathématiques et qui est si riche de conséquences.

Historiquement issue de l’analyse harmonique (dont l’un des principaux objets est précisément l’étude de l’algèbre de convolution des fonctions intégrables sur un groupe), la théorie des algèbres normées permit par la suite d’obtenir de nouveaux résultats aussi bien en analyse harmonique que dans d’autres branches de l’analyse (cf. analyse HARMONIQUE).

1. La notion d’algèbre normée

Définition

Une algèbre normée est un ensemble muni à la fois d’une structure d’espace vectoriel sur le corps des nombres complexes, d’une structure d’anneau et d’une norme (cf. se reporter à l’article espaces vectoriels NORMÉS, ainsi qu’à l’article ANNEAUX ET ALGÈBRES).

Plus précisément, notons C le corps des nombres complexes. Un ensemble A est alors une algèbre normée si les conditions suivantes sont réunies:

a ) On définit sur A deux lois de composition interne, addition et multiplication, qui munissent A d’une structure d’anneau;

b ) On définit une loi de composition externe, multiplication par les scalaires complexes, qui, jointe à la loi interne d’addition, munit A d’une structure d’espace vectoriel sur C;

c ) Les structures d’anneau et d’espace vectoriel sont compatibles en ce sens que, quels que soient les éléments de C et les éléments a et b de A, on a:

d ) On définit sur A une norme, c’est-à-dire une application x 料 瑩x 瑩 de A dans l’ensemble des nombres réels positifs telle que, quels que soient les éléments de C et les éléments a, b et c de A, on ait:

si et seulement si a = 0, élément neutre de l’addition dans A,

e ) La distance déduite de la norme (la distance de deux éléments a et b étant, par définition, 瑩a 漣 b 瑩) munit A d’une structure d’espace complet (cf. espaces MÉTRIQUES, chap. 3).

Pour cette raison, les algèbres normées sont fréquemment appelées algèbres de Banach , par analogie avec les espaces vectoriels normés complets, dits espaces de Banach.

Si la multiplication interne est commutative, on parle d’algèbre normée commutative. Si la multiplication interne possède une unité, on parle d’algèbre normée unitaire.

Exemples

Indiquons trois types fondamentaux d’algèbres normées.

(1) Soit X un espace topologique, et soit A l’ensemble des fonctions continues et bornées sur X, muni des opérations usuelles et de la norme:

c’est une algèbre normée commutative unitaire.

(2) Soit E un espace de Banach et soit A = 硫(E) l’ensemble des applications linéaires continues de E dans lui-même. L’addition et la multiplication par les scalaires sont définies de manière usuelle; la multiplication interne est la composition des opérateurs linéaires. Quant à la norme, elle est définie par:

c’est la norme habituelle des opérateurs. A est ainsi muni d’une structure d’algèbre normée unitaire (l’unité de A est l’opérateur I^E, identité de E dans E), non commutative si E est de dimension supérieure à 1.

(3) G est un groupe localement compact et 猪 est une mesure de Haar à gauche sur G (cf. analyse HARMONIQUE, chap. 4). Rappelons que c’est une mesure telle que l’on ait, pour toute fonction intégrable f et pour tout élément t de G,

la fonction ^t f , translatée de f à gauche par t étant définie par:

A est l’espace de Banach L¹( 猪) des fonctions 猪-intégrables, muni de sa norme:

la multiplication interne est l’opération de convolution, notée «», définie par:

formule ayant un sens « 猪-presque-partout».

On a ainsi défini une algèbre normée, commutative lorsque le groupe G est commutatif, unitaire lorsque le groupe G est muni de la topologie discrète. Cet exemple, auquel il a été fait allusion dans l’introduction, est à l’origine de toute la théorie.

2. Les algèbres normées commutatives

Nous allons examiner quelques propriétés fondamentales des algèbres normées en présentant d’abord la théorie dans le cas des algèbres normées commutatives et unitaires.

Idéaux maximaux et caractères

L’étude des idéaux maximaux est sans doute l’outil le plus puissant pour obtenir des propriétés des algèbres normées commutatives unitaires.

Indiquons brièvement qu’un idéal d’une algèbre normée commutative A est une partie I de A qui est un sous-espace vectoriel de A et qui, d’autre part, contient l’élément ab dès que a est un élément de I et b un élément quelconque de A. Évidemment A est un idéal (peu intéressant!) de A. Un idéal est dit maximal s’il n’est contenu strictement dans aucun idéal autre que l’algèbre A elle-même.

On appelle caractère de l’algèbre normée commutative unitaire A tout homomorphisme non identiquement nul de A dans C: autrement dit, un caractère de A est une fonction 﨑 définie sur A, à valeurs complexes, non identiquement nulle, telle que, quels que soient dans C, et a et b dans A, on ait:

Il est facile de vérifier que le noyau d’un caractère, c’est-à-dire l’ensemble des éléments de A où s’annule ce caractère, est un idéal maximal. En fait, caractères et idéaux maximaux satisfont aux propriétés suivantes:

a ) Tout idéal propre (c’est-à-dire distinct de A) est contenu dans au moins un idéal maximal;

b ) Tout idéal maximal est fermé pour la topologie définie par la norme sur A;

c ) Tout idéal maximal est le noyau d’un caractère bien déterminé, et tout caractère admet pour noyau un idéal maximal: cela établit une correspondance biunivoque entre les idéaux maximaux et les caractères.

Les deux dernières propriétés entraînent le fait remarquable que, pour une algèbre normée commutative unitaire, tout caractère (défini uniquement par des propriétés algébriques) est automatiquement continu.

Spectre et transformation de Gelfand

L’ensemble des caractères de A est appelé spectre de A: nous noterons (A) cet ensemble.

À tout élément a de A on peut associer une fonction 廬a , appelée transformée de Gelfand de a , définie sur (A), à valeurs complexes: la valeur de 廬a au point 﨑 de (A) est simplement la valeur prise par le caractère 﨑 au point a de A:

Il existe sur (A) une topologie d’espace compact et une seule pour laquelle les fonctions 廬a sont toutes continues; on considère toujours le spectre (A) muni de cette topologie (topologie de Gelfand).

La correspondance entre caractères et idéaux maximaux de A se matérialise alors de la manière suivante: l’idéal maximal associé au caractère 﨑 (le noyau de 﨑) est l’ensemble des éléments a de A dont les transformées de Gelfand s’annulent au point 﨑 de (A).

Reprenons l’exemple (1) dans le cas où X est un espace compact; il est assez facile de voir que les caractères de A sont définis par les points de X: au point x on associe le caractère 﨑x tel que, pour la fonction continue bornée f sur X, élément de A, on ait 﨑x (f ) = f (x ). On obtient ainsi tous les caractères, et cette correspondance donne un homéomorphisme entre X et (A) qui permet d’identifier les éléments de A et leurs transformées de Gelfand.

Pour l’exemple (3), dans le cas d’un groupe discret commutatif, le spectre de A s’identifie au groupe compact dual, et la transformation de Gelfand correspond alors à la transformation de Fourier (cf. analyse HARMONIQUE).

L’ensemble des valeurs prises par la transformée de Gelfand 廬a d’un élément a de l’algèbre normée commutative unitaire A est appelé le spectre de a (bien distinguer entre le spectre de l’algèbre et le spectre d’un élément de l’algèbre). Pour tout a 捻 A, et tout 﨑 捻 (A), on a:

On appelle rayon spectral de a le nombre 瑩 廬a 瑩 size=1^秊, borne supérieure des | 廬a ( 﨑)|, pour 﨑 dans (A). L’application qui à tout élément a associe son rayon spectral est une semi-norme (car elle peut s’annuler pour a 0) inférieure ou égale à la norme de A. On peut, à ce propos, énoncer le «théorème du rayon spectral» suivant.

Théorème. Pour tout élément a de A, on a:

Les algèbres semi-simples

Si la transformation de Gelfand est injective, c’est-à-dire si deux éléments distincts a et b de A ont des transformées 廬a et 廬b distinctes, on dit que l’algèbre normée considérée est semi-simple . Cela revient à dire que l’intersection des idéaux maximaux ne contient que l’élément 0.

La transformation de Gelfand permet alors d’interpréter toute algèbre normée commutative unitaire semi-simple comme une sous-algèbre de l’algèbre des fonctions continues sur un espace compact, qui est le spectre de l’algèbre donnée.

Les algèbres semi-simples jouissent de diverses propriétés spéciales: par exemple, soit A et B deux algèbres normées commutatives unitaires, B étant semi-simple; si h est un homomorphisme algébrique de A dans B (c’est-à-dire une application telle qu’on ait:

pour tout dans C et tout choix de a et b dans A), alors h est automatiquement continu. Comme cas particulier, dans le cas où B est le corps C des nombres complexes, on retrouve la continuité des caractères.

Le calcul fonctionnel holomorphe

Soit A une algèbre normée commutative unitaire et a un élément de A; appelons 靖(a ) le spectre de a , ensemble des nombres complexes qui sont les valeurs prises par 廬a , transformée de Gelfand de a .

Si f est une fonction continue à valeurs complexes définie sur 靖(a ), on peut considérer la fonction composée f 獵 廬a et se demander s’il existe un élément b dans l’algèbre tel que f 獵 廬a soit la transformée de Gelfand de b .

Si l’algèbre A est semi-simple, il est clair qu’il peut exister au maximum un seul élément b de cette sorte. Si la fonction f est quelconque, il n’y a en général aucune raison pour qu’il existe un tel b ; mais si A est l’algèbre des fonctions continues sur un espace compact et si f est simplement supposée continue, ce sera le cas.

Supposons maintenant que f soit définie par une série entière:

dont le rayon de convergence soit supérieur au rayon spectral de a. Alors la série:

converge dans A vers un élément b , noté f (a ), dont la transformée de Gelfand est précisément 廬b = f 獵 廬a . Cela résulte de propriétés élémentaires.

Moins simple est le théorème suivant, qui généralise de beaucoup les considérations ci-dessus:

Soit A une algèbre normée commutative unitaire semi-simple, a un élément de A et f une fonction analytique définie sur un voisinage du spectre de a . Il existe un élément b de A, et un seul, tel que 廬b = f 獵 廬a .

Si, en particulier, f est un polynôme:

b est alors l’élément:

Si 0 n’appartient pas au spectre de a , ce qui signifie que a est inversible, et si f (z ) = 1/z , alors b est l’inverse de a .

Un cas historiquement important de ce cas particulier, dont la théorie des algèbres normées permet de donner une démonstration simple et pénétrante, est le résultat suivant:

Théorème de Wiener-Levy. Soit une fonction f continue, par exemple de période 2 神, et admettant pour série de Fourier:

où la série:

est absolument convergente. Alors, si f ne s’annule jamais, la fonction inverse 1/f possède une série de Fourier:

où la série:

est absolument convergente.

Les algèbres normées commutatives non unitaires

Il existe un procédé standard pour associer à toute algèbre normée A une algèbre normée unitaire A¹, telle que A soit une sous-algèbre de A¹. Ce procédé, assez élémentaire, permet en principe de ramener l’étude de problèmes concernant A à des problèmes qui portent sur A¹. Cependant, dans bien des cas, cette approche est insuffisante et il faut étudier directement les propriétés d’une algèbre non unitaire.

L’outil fondamental dans le cas commutatif unitaire, l’étude des idéaux maximaux, ne s’applique pas directement au cas non unitaire: il faut introduire la notion d’idéal régulier.

Dans une algèbre A, un idéal I définit une relation d’équivalence: a et b , éléments de A, sont équivalents si a 漣 b appartient à I. L’ensemble des classes d’équivalence, le quotient A/I, est muni d’une structure d’anneau (cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES, chap. 3). On dit qu’un idéal I de l’algèbre normée commutative A est régulier si l’anneau quotient A/I est unitaire (remarquer que, si A est unitaire, tout idéal est régulier).

Dans une algèbre commutative unitaire, tout idéal propre est contenu dans un idéal maximal: il n’en va pas toujours de même si l’algèbre n’est pas unitaire. Mais, si l’on se borne à considérer les idéaux réguliers, on retrouve des propriétés analogues à celles qui ont été données précédemment:

a ) Tout idéal régulier propre est contenu dans un idéal maximal régulier;

b ) Tout idéal maximal régulier est fermé;

c ) Tout idéal maximal régulier est le noyau d’un caractère, et d’un seul, et tout caractère admet pour noyau un idéal maximal régulier.

Cela définit une bijection entre l’ensemble des caractères et l’ensemble des idéaux maximaux réguliers et cela montre, d’autre part, que tout caractère est continu.

Comme pour les algèbres commutatives unitaires, on peut définir ici le spectre et la transformation de Gelfand: si (A) est l’ensemble des idéaux maximaux réguliers de l’algèbre A, on associe à tout élément a de A sa transformée de Gelfand 廬a , fonction définie sur (A) de la même manière que précédemment. On munit (A) d’une topologie d’espace localement compact, pour laquelle les transformées de Gelfand 廬a sont continues et tendent vers 0 à l’infini.

Cela étant, la plupart des propriétés valables pour les algèbres normées commutatives unitaires s’étendent au cas non unitaire sans modifications essentielles.

Citons, comme exemple d’algèbres de ce type, l’algèbre des fonctions continues sur un espace localement compact X qui tendent vers 0 à l’infini: ici le spectre s’identifie à X, et les éléments de l’algèbre s’identifient à leurs transformées de Gelfand. Un autre exemple est fourni par l’algèbre, pour l’opération de convolution, des fonctions intégrables sur un groupe abélien localement compact non discret, R par exemple.

3. Les algèbres normées non commutatives

L’absence de la commutativité de la multiplication interne modifie énormément, en la compliquant notablement, la théorie des algèbres normées. Faute de pouvoir ne serait-ce que l’esquisser, nous nous bornerons à indiquer deux classes d’algèbres de ce type particulièrement importantes.

Les algèbres d’opérateurs dans les espaces de Banach

Reprenons l’exemple (2) du chapitre 1: E étant un espace de Banach, l’ensemble 硫(E) des applications linéaires continues de E dans E est une algèbre normée unitaire, non commutative si E est de dimension supérieure à 1. L’étude de cette algèbre est l’un des buts de l’analyse fonctionnelle.

Il est possible, en particulier, de généraliser dans ce cadre le calcul fonctionnel holomorphe. Soit par exemple T un élément de 硫(E); on appellera spectre de T l’ensemble 靖(T) des nombres complexes tels que T 漣笠^E, où I^E est l’opérateur identique, ne soit pas inversible: cela correspond à la notion de spectre d’un élément dans une algèbre normée commutative unitaire, défini comme ensemble des valeurs prises par la transformée de Gelfand; si f est une fonction holomorphe d’une variable complexe, définie au voisinage de 靖(T), on construit un autre élément 硫(E), noté f (T), de telle sorte que l’on ait:

on exige de plus f (T) = Tⁿ si f est la fonction qui à z associe z ⁿ . À cela s’ajoutent certaines propriétés de continuité. Cette construction se fait en utilisant la formule intégrale de Cauchy (cf. FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions analytiques d’une variable complexe, chap. 5); en fait, bien qu’elle ait été particulièrement étudiée pour les algèbres d’opérateurs que nous considérons ici, elle est possible dans le cas le plus général et correspond au calcul fonctionnel holomorphe auquel nous avons fait allusion dans le cas des algèbres normées commutatives unitaires (où l’hypothèse supplémentaire de semi-simplicité avait pour seul but de rendre l’exposé plus concret).

Les C-algèbres

Parmi les algèbres normées, on distingue celles dont les propriétés particulières permettent une analyse spectrale plus poussée.

On appelle C-algèbre une algèbre de Banach A vérifiant les deux propriétés suivantes:

(I) elle est munie d’une involution , c’est-à-dire d’une application a 轢a de A dans A telle que l’on ait, quels que soient a et b dans A et complexe:

étant le nombre complexe conjugué de;

(II) la norme et l’involution sont liées par la relation:

Donnons ici quelques exemples de C-algèbres:

(1) L’algèbre des fonctions continues sur un espace compact;

(1 ) l’algèbre des fonctions continues nulles à l’infini sur un espace localement compact (dans les deux cas l’involution est l’opérateur de conjugaison).

(2) L’algèbre 硫(H) des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert H (l’involution étant l’opérateur d’adjonction relatif au produit scalaire de H);

(2 ) toute sous-algèbre fermée de 硫(H) stable par passage à l’adjoint;

(2 ) en particulier, l’algèbre 硫暈(H) des opérateurs compacts de H, c’est-à-dire des opérateurs qui sont limite en norme d’opérateurs de rang fini.

(3) La C-algèbre d’un groupe localement compact G: sur l’algèbre de convolution L¹( 猪) (cf. ci-dessus l’exemple 3 du chapitre 1^er) on construit une involution en associant à la fonction intégrable f la fonction f définie par: f (t )= (t ^-1) f (t ^-1), où est la fonction modulaire du groupe; on n’obtient pas ainsi une C-algèbre (la propriété (II) de la définition n’est pas vérifiée), mais on montre qu’il existe sur L¹( 猪) une unique norme vérifiant les propriétés (I) et (II), et l’algèbre de Banach obtenue par complétion est une C-algèbre notée habituellement C(G).

(1) et (1 ) fournissent des exemples de C-algèbre commutative: ce sont des exemples universels dans la mesure où, pour une C-algèbre commutative, la transformation de Gelfand est un isomorphisme. On obtient ainsi le théorème de représentation.

– Une C-algèbre commutative et unitaire est naturellement isomorphe à l’algèbre des fonctions continues sur son spectre (qui est un espace compact);

– Une C-algèbre commutative est naturellement isomorphe à l’algèbre des fonctions continues nulles à l’infini sur son spectre (qui est un espace localement compact).

– Cette propriété fondamentale permet de définir dans toute C-algèbre un calcul fonctionnel continu: si a est un élément normal (i.e. tel que a et a commutent), on peut définir sans ambiguïté l’image f (a ) de a par une fonction f continue à valeurs complexes sur le spectre de a .

(2) est un exemple de C-algèbre non commutative (si H est l’espace hilbertien de dimension 2, on obtient la plus petite de celles-ci, l’algèbre des matrices 2 憐 2, qui est de dimension 4).

L’exemple (2 ) est universel: toute C-algèbre est isomorphe à une sous-algèbre involutive fermée d’un 硫(H) (mais il n’y a pas de manière privilégiée de la représenter ainsi).

L’algèbre des opérateurs compacts (2 ) joue un rôle fondamental dans toutes les théories, anciennes et nouvelles, de classification des C-algèbres et de recherche d’invariants.

Historiquement, les algèbres d’opérateurs dans l’espace de Hilbert (C-algèbres et algèbres de von Neumann: voir ci-dessous) ont été introduites dans les années trente par J. von Neumann, à la fois pour disposer d’un formalisme algébrique dans l’étude de certains problèmes de l’analyse (l’algèbre des opérateurs différentiels par exemple), et également pour interpréter mathématiquement des phénomènes spécifiques de la physique quantique, telle l’interdépendance des observations (par exemple, l’impossibilité de mesurer simultanément la position et la vitesse d’une particule est formalisée par Heisenberg comme une relation de non-commutation entre des opérateurs de l’espace hilbertien). Le formalisme abstrait que nous avons présenté est dû à I. M. Gelfand.

Rapidement, les C-algèbres se révèlent un outil important de l’analyse harmonique, et la C-algèbre C(G) (exemple 3 ci-dessus) peut être considérée comme un «objet dual» du groupe localement compact G (dans le cas où G est commutatif, la transformation de Gelfand identifie C(G) et l’algèbre C⁰(G) des fonctions nulles à l’infini sur le groupe dual G, ce qui est une autre manière d’écrire la dualité de Pontriaguine).

D’une manière heuristique, on peut considérer les C-algèbres comme des «espaces localement compacts non commutatifs», considérer leur théorie comme une «topologie non commutative», leurs formes linéaires comme des «mesures non commutatives», etc. Dans ses développements récents (investigation d’invariants homotopiques et K-homologiques), leur étude tend même à s’imposer comme une «géométrie différentielle non commutative», se révélant un moyen d’investigation irremplaçable de strutures différentielles qui présentent une composante dynamique: action d’un groupe de Lie sur une variété, et, plus généralement, toutes les structures de variété feuilletée.

Le cadre et les méthodes de la topologie algébrique ont été renouvelés par l’introduction systématique des C-algèbres (travaux de G. Kasparov et A. Connes). Les C-algèbres ont démontré leur aptitude à fournir et élucider des invariants topologiques pour les structures différentielles. L’effort porte aujourd’hui principalement sur la K-homologie algébrique (cf. algèbre TOPOLOGIQUE) et ses rapports avec la géométrie différentielle; il peut être résumé par ses résultats les plus importants:

– le théorème de périodicité de R. Bott (cf. TOPOLOGIE – Topologie algébrique, chap. 5) qui, reformulé, fournit des suites exactes de K-homologie à six termes (alors que les suites exactes d’homologie sont en principe infinies) et permet des calculs explicites;

– le théorème de l’indice de M. F. Atiyah et I. M. Singer, dans la version achevée d’A. Connes, permet de relier des invariants dynamiques d’une variété feuilletée (l’indice analytique des opérateurs pseudo-différentiels le long des feuilles, interprété comme un élément de K-homologie du fibré cotangent au feuilletage) à des invariants de nature purement algébrique (l’indice topologique, interprété comme un élément de la K-homologie de la C-algèbre canoniquement associée au feuilletage).

Algèbres de von Neumann

Une algèbre de von Neumann est une sous-algèbre involutive de l’algèbre 硫(H) des opérateurs bornés d’un espace de Hilbert H (cf. ci-dessus l’exemple 2 ) qui vérifie l’une des trois propriétés équivalentes suivantes:

a ) elle contient l’opérateur identité et elle est fermée pour la topologie de la convergence simple;

b ) elle contient l’opérateur identité et elle est fermée pour la topologie de la convergence simple faible;

c ) elle est égale à son bicommutant (le commutant d’une partie P de 硫(H) est l’ensemble des opérateurs bornés de H qui commutent à tous les éléments de P; le bicommutant est le commutant du commutant).

L’équivalence des propriétés a , b et c est connue comme le théorème de commutation de J. von Neumann (1929). On peut également donner une définition plus abstraite (due à J. Dixmier et S. Sakai): une algèbre de von Neumann est une C-algèbre qui, en tant qu’espace normé, est le dual d’un espace de Banach.

Une algèbre de von Neumann commutative s’identifie à l’algèbre des (classes de) fonctions mesurables essentiellement bornées sur un espace mesuré. Sur toute algèbre de von Neumann, le calcul fonctionnel des C-algèbres se prolonge en un calcul fonctionnel borélien.

Pour poursuivre l’analogie du paragraphe précédent, les algèbres de von Neumann sont des «espaces mesurés non commutatifs» et leur théorie, une «théorie de la mesure non commutative»; elle fait un usage systématique de fonctionnelles non bornées, analogues aux mesures dites 靖-finies, appelées traces et poids : ce sont des fonctionnelles positives, densément définies, respectant les limites croissantes.

Les traces sont celles de ces fonctionnelles sous lesquelles commute toute paire d’éléments dans leur domaine. À partir d’elles, les initiateurs de la théorie, F. J. Murray et J. von Neumann, avaient classé ces algèbres en trois types: type I, ou discrètes (dont la théorie se ramène plus ou moins au cas commutatif); type II, ou continues et à trace (celles qui ne sont pas discrètes mais possèdent suffisamment de traces); type III, ou purement infinies (celles qui ne possèdent aucune trace). Ils avaient également démontré un résultat d’unicité remarquable: celle d’une algèbre de von Neumann continue, à trace finie, à centre trivial, qui soit limite inductive d’algèbres de matrices (théorème d’unicité du facteur hyperfini de type II¹, 1943).

La connaissance de la structure des algèbres de von Neumann a fait des progrès remarquables. D’abord avec la théorie de M. Tomita qui associe à tout poids un groupe à un paramètre d’automorphismes, le groupe modulaire, mesurant exactement son degré de non-commutativité; ensuite avec la classification de A. Connes (dont les travaux sur les algèbres de von Neumann et les C-algèbres ont été consacrés par une médaille Fields en 1982), fondée sur le caractère intrinsèque du groupe modulaire, qui fournit, pour le type III, des invariants affinant la typologie de Murray et von Neumann, puis généralise le théorème d’unicité du facteur hyperfini en montrant que, pour toute une catégorie d’algèbres de von Neumann (à une exception près, celles des algèbres dont le centre est trivial et qui sont limite inductive d’algèbres de matrices), il s’agit d’invariants complets, c’est-à-dire caractérisant l’algèbre à isomorphisme près.

Encyclopédie Universelle. 2012.